Post para ser capaz de hacer un "arco capaz"

by Oswald.luc

El arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo. O lo que es lo mismo, el conjunto de los puntos del plano tales que el ángulo con vértice en ese punto y cuyos lados pasan por los extremos del segmento mide un determinado valor.

Te indico a continuación los métodos que puedes utilizar para construir un arco capaz respecto del segmento AB, de ángulo λ, aunque si entiendes bien el concepto no te harán falta.

Primer método

1. Se traza un triángulo APB, tal que un lado es AB y su ángulo opuesto de amplitud λ (primero dibujamos el ángulo λ. Después trazamos el segmento AB: sus extremos son dos puntos de los lados del ángulo).
2. Se trazan las mediatrices del dicho triángulo.
3. Estas mediatrices se cortan en el punto O, que es el centro del arco capaz buscado.
4. Bastará con dibujar con el compás un arco de centro O y radio OA.
5. El punto O es el circuncentro: el centro de la circunferencia circunscrita. Equidista del vértice y de los puntos A y B.

Segundo método

Para encontrar el punto C, centro del arco capaz, sólo hay que tener en cuenta que el triángulo ACB también es isósceles por tanto el ángulo BAC debe ser ½ (180-2 λ) = 90 - λ.

Se traza la mediatriz del segmento AB y una recta que pasa por el punto A y que forma un ángulo de 90 - λ respecto del segmento AB, el punto donde esta recta corta la mediatriz es el centro del arco capaz del ángulo λ.

Tercer método

1. Se parte únicamente del segmento AB.
2. Se traza la mediatriz m de dicho segmento;
3. A continuación se traza la recta r que forme un ángulo λ con el segmento AB, con vértice en A;
4. Desde A, se dibujará una segunda recta s perpendicular a la recta r.
5. El punto de corte O entre la recta s y la mediatriz m es el centro del arco capaz buscado.
6. Bastará con dibujar con el compás un arco de centro O y radio OA.
7. El ángulo formado por la recta s y la mediatriz m mide igual que el ángulo λ;
8. Por tanto, el ángulo con centro en O, conformado por la recta s y la recta simétrica a s, respecto de la mediatriz m, medirá el doble que el ángulo λ, es decir, AOB medirá 2λ.

Por semejanza de triángulos, se deduce que:

1. El ángulo formado por la recta s y la mediatriz m mide igual que el ángulo λ;
2. Por tanto, el ángulo con centro en O, conformado por la recta s y la recta simétrica a s, respecto de la mediatriz m, medirá el doble que el ángulo λ, es decir, AOB medirá 2λ.

Te propongo estos ejercicios para afianzar el concepto

Ejercicio 1

Imagina que eres el entrenador de un equipo de fútbol, y deseas conocer todos los puntos del campo desde los cuales el delantero tiene un ángulo de 45º para chutar a puerta.


Ejercicio 2 (by aisanchez222)

En la costa hay tres faros, R, S y T separados. Desde un barco P, situado en el mar, con el uso de un sextante se ven los faros R y S bajo un ángulo de 45º y los faros S y T bajo un ángulo de 60º. Determinar la posición de un barco P en el mar.

Nota: Lee el enunciado un par de veces para enterarte bien, coge una hoja y plantea el problema dibujándolo. Une los puntos R y S, y S y T mediante segmentos. Dibuja los arcos capaces. Si te aturullas y no lo consigues no te agobies, a continuación te dejo el vídeo con la solución. Lo importante ahora es que te quedes con el concepto.

Ejercicio 3 (by aisanchez222)

Un velero sale del punto A y se sabe que se encuentra a 35 Km del mismo cuando recibe las señales de las radios B y C formando un ángulo de 45º. Determina la posición del barco.

Nota: Este es parecido al anterior. Si ya tienes claro lo que es un arco capaz te debería salir sin problema. ¡Ánimo!