El problema fundamental de tangencias PPr, consiste en determinar la/s circunferencia/s que pasan por dos puntos (A y B) y son tangentes a una recta (r).
Desde un punto de vista didáctico habría dos formas de resolverlo:
Lo más recomendable para afrontar cualquier ejercicio es hacer previamente una figura de análisis. En estas figuras puedes plantear la posible solución o soluciones (puede haber más de una), y estudiar las relaciones o propiedades geométricas que hay o que deben cumplirse. Aplicando tus conocimientos de geometría en este análisis podrías darte cuenta del modo de resolver el problema.
Retomando por tanto el ejercicio dibujando los puntos "A" y "B" y la recta "r", y las posibles soluciones. Éstas pasarán por los puntos "A" y "B", y serán tangentes a "r". En definitiva lo que buscamos al hallar las circunferencias solución son sus centros, puntos, y como sabes un punto está definido por dos datos, estos pueden ser sus coordenadas x e y u otros dos cualesquiera que nos permitan encontrarlos.
Pero... ¿y qué sabemos? lo que ya sabemos es que los centros de las circunferencias solución se encontrarán en la mediatriz del segmento AB ¿por qué? pues porque siempre se cumple que la mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia pasa por el origen. Tenemos ya un dato para resolver el ejercicio.
También sabemos que los radios de las circunferencias que unen los puntos de tangencia con cada uno de sus centros son perpendiculares a "r", pero lo que no sabemos es por que puntos (los puntos de tangencia) trazar esa perpendicular. Este es el segundo datos que nos falta, y que podemos hallar.
Este segundo dato procede por tanto de la condición de tangencia que nos plantea el problema. Este es el momento en el que debemos recuperar el concepto de potencia del que ya hemos hablado y que como avanzamos, va a suponer la herramienta principal para resolver cualquier tipo de tangencia (ver post sobre potencia).
Pero... ¿por qué es tan útil la potencia? pues porque la potencia desde un punto es constante independientemente de los puntos de la circunferencia que consideremos, lo que nos va a permitir establecer una relación entre todas las circunferencias que pasan por dos puntos. Es aquí donde se produce la magia 💫...
Las circunferencias solución van a pasar realmente por tres puntos: por "A", por "B" y por los puntos de tangencia con la recta "r" (P1 y P2), o sea que lo que tenemos que hallar realmente son estos dos puntos desde los que trazar los radios perpendiculares. Como sabemos que la potencia desde un punto "P" según la dirección de la recta que pasa por "A" y por "B" es la misma que la potencia de las rectas desde "P" a los puntos de tangencia (P1 y P2), lo que hay que hallar es el valor de esta potencia. Pero ¿donde está "P"? Pues para que se cumpla la condición anterior "P" tiene que ser la intersección de la recta que pasa por "A" y "B" con la recta "r".
Vale ya tengo "P"... pero ¿cuál es el valor de la potencia? como hemos dicho que la potencia desde un punto "P" es constante a cualquier circunferencia que pasa por "A" y "B", ¿no me valdría cualquier circunferencia que pase por estos puntos para calcular la potencia...? Pues si! 💫
Hacemos por tanto una circunferencia auxiliar cualquiera, y hallamos el segmento de potencia (el segmento tangente desde "P" a la circunferencia auxiliar). Para hacer esto necesitamos conocer el concepto de arco capaz de 90º, ya que este segmento formará un ángulo de 90º con el radio de la circunferencia auxiliar en el punto de tangencia (ver post sobre arco capaz). Realizamos por tanto el arco capaz de 90º del segmento formado por el punto "P" y el centro de la circunferencia auxiliar, y su intersección con la circunferencia auxiliar nos dará los puntos de tangencia y por tanto el segmento de la potencia que estamos buscando.
Conocida la longitud de este segmento solo tengo que trasladarlo sobre la recta "r" desde "P" (recuerda hemos dicho que la potencia es la misma, y por tanto la longitud de este segmento también) para localizar los puntos "P1" y "P2" de tangencia con las circunferencias solución.
Solo tengo que trazar las perpendiculares a "r" por los puntos de tangencia (P1 y P2). Voilà! Las intersecciones de estas perpendiculares con la mediatriz del segmento AB, serán los centros de las circunferencias solución!
(He utilizado el concepto de potencia para resolver el ejercicio. Otros métodos que se podrían utilizar son el teorema del cateto o el teorema de la altura)
A continuación incluyo este applet que he desarrollado para que podáis ver paso a paso la resolución del problema fundamental de tangencias planteado por dos puntos (A y B) y una recta (r), pero sabiendo perfectamente lo que estáis haciendo en cada momento!
Desde un punto de vista didáctico habría dos formas de resolverlo:
- Realizando uno a uno los pasos que hay que hacer como si se tratara de una receta. Esto te permitirá resolver este ejercicio sin haber entendido los conceptos que hay detrás. 😞
- Conociendo y sabiendo aplicar los conceptos necesarios para su resolución. Mediante este procedimiento no solo sabrás resolver este ejercicio, sino otros parecidos (pero no iguales) que se te puedan presentar, demostrando ser un verdadero geómetra! 😏
Lo más recomendable para afrontar cualquier ejercicio es hacer previamente una figura de análisis. En estas figuras puedes plantear la posible solución o soluciones (puede haber más de una), y estudiar las relaciones o propiedades geométricas que hay o que deben cumplirse. Aplicando tus conocimientos de geometría en este análisis podrías darte cuenta del modo de resolver el problema.
Retomando por tanto el ejercicio dibujando los puntos "A" y "B" y la recta "r", y las posibles soluciones. Éstas pasarán por los puntos "A" y "B", y serán tangentes a "r". En definitiva lo que buscamos al hallar las circunferencias solución son sus centros, puntos, y como sabes un punto está definido por dos datos, estos pueden ser sus coordenadas x e y u otros dos cualesquiera que nos permitan encontrarlos.
Pero... ¿y qué sabemos? lo que ya sabemos es que los centros de las circunferencias solución se encontrarán en la mediatriz del segmento AB ¿por qué? pues porque siempre se cumple que la mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia pasa por el origen. Tenemos ya un dato para resolver el ejercicio.
También sabemos que los radios de las circunferencias que unen los puntos de tangencia con cada uno de sus centros son perpendiculares a "r", pero lo que no sabemos es por que puntos (los puntos de tangencia) trazar esa perpendicular. Este es el segundo datos que nos falta, y que podemos hallar.
Este segundo dato procede por tanto de la condición de tangencia que nos plantea el problema. Este es el momento en el que debemos recuperar el concepto de potencia del que ya hemos hablado y que como avanzamos, va a suponer la herramienta principal para resolver cualquier tipo de tangencia (ver post sobre potencia).
Pero... ¿por qué es tan útil la potencia? pues porque la potencia desde un punto es constante independientemente de los puntos de la circunferencia que consideremos, lo que nos va a permitir establecer una relación entre todas las circunferencias que pasan por dos puntos. Es aquí donde se produce la magia 💫...
Las circunferencias solución van a pasar realmente por tres puntos: por "A", por "B" y por los puntos de tangencia con la recta "r" (P1 y P2), o sea que lo que tenemos que hallar realmente son estos dos puntos desde los que trazar los radios perpendiculares. Como sabemos que la potencia desde un punto "P" según la dirección de la recta que pasa por "A" y por "B" es la misma que la potencia de las rectas desde "P" a los puntos de tangencia (P1 y P2), lo que hay que hallar es el valor de esta potencia. Pero ¿donde está "P"? Pues para que se cumpla la condición anterior "P" tiene que ser la intersección de la recta que pasa por "A" y "B" con la recta "r".
Vale ya tengo "P"... pero ¿cuál es el valor de la potencia? como hemos dicho que la potencia desde un punto "P" es constante a cualquier circunferencia que pasa por "A" y "B", ¿no me valdría cualquier circunferencia que pase por estos puntos para calcular la potencia...? Pues si! 💫
Hacemos por tanto una circunferencia auxiliar cualquiera, y hallamos el segmento de potencia (el segmento tangente desde "P" a la circunferencia auxiliar). Para hacer esto necesitamos conocer el concepto de arco capaz de 90º, ya que este segmento formará un ángulo de 90º con el radio de la circunferencia auxiliar en el punto de tangencia (ver post sobre arco capaz). Realizamos por tanto el arco capaz de 90º del segmento formado por el punto "P" y el centro de la circunferencia auxiliar, y su intersección con la circunferencia auxiliar nos dará los puntos de tangencia y por tanto el segmento de la potencia que estamos buscando.
Conocida la longitud de este segmento solo tengo que trasladarlo sobre la recta "r" desde "P" (recuerda hemos dicho que la potencia es la misma, y por tanto la longitud de este segmento también) para localizar los puntos "P1" y "P2" de tangencia con las circunferencias solución.
Solo tengo que trazar las perpendiculares a "r" por los puntos de tangencia (P1 y P2). Voilà! Las intersecciones de estas perpendiculares con la mediatriz del segmento AB, serán los centros de las circunferencias solución!
(He utilizado el concepto de potencia para resolver el ejercicio. Otros métodos que se podrían utilizar son el teorema del cateto o el teorema de la altura)
A continuación incluyo este applet que he desarrollado para que podáis ver paso a paso la resolución del problema fundamental de tangencias planteado por dos puntos (A y B) y una recta (r), pero sabiendo perfectamente lo que estáis haciendo en cada momento!
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